Question

3．直線y=-x+1交y軸于C點，直線y=-$\frac{1}{2}$x，兩條直線分別交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＜0）于B、A兩點，若$\frac{OA}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
（1）求k的值；
（2）求四邊形0ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)點A坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m）、點B坐標(biāo)為（n，-n+1），根據(jù)反比例系數(shù)等于任一點的橫縱坐標(biāo)乘積得出m、n的關(guān)系式①，表示出OA²、BC²，由$\frac{OA}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$得出m、n間的關(guān)系式②，由①②可求出n的值，即可得k；
（2）由（1）求出A、B、D點坐標(biāo)，根據(jù)S_{四邊形0ABC}=S_{正方形OPDQ}-S_△OPA-S_△ABD-S_△BCQ列式可求面積．

解答 解：（1）如圖，過點A作PD∥y軸，交x軸于點P，過點B作DQ∥x軸，交y軸于點Q，PD與DQ相交于點D，

根據(jù)題意設(shè)點A坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m），點B坐標(biāo)為（n，-n+1），
則OA²=m²+（-$\frac{1}{2}$m）²=$\frac{5}{4}$m²，BC²=n²+（-n+1-1）²=2n²，
又∵點A、B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=m•（-$\frac{1}{2}$m）=-$\frac{1}{2}$m²
k=n（-n+1）=-n²+n，
則-n²+n=-$\frac{1}{2}$m² 即：m²=2n²-2n，①
∵$\frac{OA}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$\frac{O{A}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，即：$\frac{\frac{5}{4}{m}^{2}}{2{n}^{2}}=\frac{5}{2}$，
整理可得：m²=4n²，②
聯(lián)立①②，可得：4n²=2n²-2n，
解得：n=0（舍）或n=-1，
故k=-n²+n=-2；
（2）由（1）知，k=-2時，m²=-2k=4，解得：m=2（舍）或m=-2，
故A點坐標(biāo)為（2，-1）
∵n=-1，
∴B點坐標(biāo)為（-1，2），D點坐標(biāo)為（-2，2），
則S_{四邊形0ABC}=S_{正方形OPDQ}-S_△OPA-S_△ABD-S_△BCQ
=2×2-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×1×1
=2．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)雙曲線上點的坐標(biāo)特點及線段長度比得出m、n的關(guān)系式是解題關(guān)鍵．