Question

13．如圖1，⊙O的半徑為r（r＞0），若點(diǎn)P′在射線OP上，滿足OP′•OP=r²，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“美好點(diǎn)”．如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=4，若點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的美好點(diǎn)，求A′B′的長．

Answer 1

分析 設(shè)OA交⊙O于C，連結(jié)B′C，如圖2，根據(jù)新定義計(jì)算出OA′，OB′，則點(diǎn)A′為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和B′重合，再證明△OBC為等邊三角形，則B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定義可求A′B′的長．

解答 解：設(shè)OA交⊙O于C，連結(jié)B′C，如圖2，
∵OA′•OA=2²，
而r=2，OA=4，
∴OA′=1，
∵OB′•OB=2²，
∴OB′=2，即點(diǎn)B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
而點(diǎn)A′為OC的中點(diǎn)，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=$\frac{A'B'}{OB'}$，
∴A′B′=2sin60°=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了閱讀理解能力．