【題目】如圖,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,邊AD與邊BC交于點P(不與點B,C重合),點B,E在AD異側(cè),I為△APC的內(nèi)心.
(1)求證:∠BAD=∠CAE;
(2)設(shè)AP=x,請用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;
(3)當(dāng)AB⊥AC時,∠AIC的取值范圍為m°<∠AIC<n°,分別直接寫出m,n的值.
【答案】(1)見解析;(2)PD=6-x,3為PD的最大值;(3)m=105,n=150.
【解析】
(1)由條件易證△ABC≌△ADE,得∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE.
(2)PD=AD-AP=6-x,∵點P在線段BC上且不與B、C重合,∴AP的最小值即AP⊥BC時AP的長度,此時PD可得最大值.
(3)I為△APC的內(nèi)心,即I為△APC角平分線的交點,應(yīng)用“三角形內(nèi)角和等于180°“及角平分線定義即可表示出∠AIC,從而得到m,n的值.
(1)在△ABC和△ADE中,(如圖1)
,
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴∠BAC=∠DAE
即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE
∴∠BAD=∠CAE.
(2)∵AD=6,AP=x,
∴PD=6-x
當(dāng)AD⊥BC時,AP=AB=3最小,即PD=6-3=3為PD的最大值.
(3)如圖2,設(shè)∠BAP=α,則∠APC=α+30°,
∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°,∠PCA=60°,∠PAC=90°-α,
∵I為△APC的內(nèi)心
∴AI、CI分別平分∠PAC,∠PCA,
∴∠IAC=∠PAC,∠ICA=∠PCA
∴∠AIC=180°-(∠IAC+∠ICA)
=180°-(∠PAC+∠PCA)
=180°-(90°-α+60°)
=α+105°
∵0<α<90°,
∴105°<α+105°<150°,即105°<∠AIC<150°,
∴m=105,n=150.
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【題目】已知BD、CE分別是△ABC的AC邊、AB邊上的高,M是BC邊的中點,分別連結(jié)MD、ME、DE。
(1)當(dāng)∠BAC<90°時,垂足D、E分別落在邊AC、AB上,如圖1,求證:DM=EM;
(2)若∠BAC=120°,試判斷△DEM的形狀,并說明理由;
(3)當(dāng)∠BAC= 時,△DEM是等腰直角三角形。
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【題目】如圖,拋物線y=nx2﹣3nx﹣4n(n<0)與x軸交于B、C兩點(點B在點C的左側(cè)),且拋物線與y軸交于點A.
(1)點B的坐標(biāo)為 ,點C的坐標(biāo)為 ;
(2)若∠BAC=90°,求拋物線的解析式.
(3)點M是(2)中拋物線上的動點,點N是其對稱軸上的動點,是否存在這樣的點M、N,使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在中,,,直角的頂點在上,、分別交、于點、,繞點任意旋轉(zhuǎn).當(dāng)時,的值為________;當(dāng)時,為________.(用含的式子表示)
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【題目】已知拋物線與拋物線的開口大小及開口方向都完全相同,且頂點在直線上,頂點到軸的距離為,則此拋物線的解析式為________.
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【題目】如圖1,△ABC和△DEF是兩塊可完全重合的三角板,,.在如圖1所示的狀態(tài)下,△DEF固定不動,將△ABC沿直線a向左平移.
(1)當(dāng)△ABC移到圖2位置時,連解AF、DC,求證:AF=DC;
(2)若EF=8,在上述平移過程中,試猜想點C距點E多遠時,線段AD被直線a垂直平分。并證明你的猜想是正確的。
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【題目】為了測量被池塘隔開的A,B兩點之間的距離,根據(jù)實際情況,作出如圖圖形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同學(xué)分別測量出以下四組數(shù)據(jù):①BC,∠ACB; ②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根據(jù)所測數(shù)據(jù),求出A,B間距離的有【 】
A.1組 B.2組 C.3組 D.4組
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中有點A(0,0),點A第1次運動到點A1(0,1),第2次運動到點A2(1,0),第3次運動到點A3(1,1),第4次運動到點A4(0,0),第5次運動到點A5(,1),第6次運動到點A6(,0),第7次運動到點A7(0,1),第8次運動到點A8(0,2),第9次運動到點A9(1,1)…,依次規(guī)律運動下去,點A第2019次運動到點A2019的坐標(biāo)是( )
A.(1,288)B.(0,288)C.(1,289)D.(0,289)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+與x軸、y軸分別交于點B、A,與直線y=相交于點C.動點P從O出發(fā)在x軸上以每秒5個單位長度的速度向B勻速運動,點Q從C出發(fā)在OC上以每秒4個單位長度的速度,向O勻速運動,運動時間為t秒(0<t<2).
(1)直接寫出點C坐標(biāo)及OC、BC長;
(2)連接PQ,若△OPQ與△OBC相似,求t的值;
(3)連接CP、BQ,若CP⊥BQ,直接寫出點P坐標(biāo).
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