Question

如圖，矩形ABCD中，CH⊥BD，垂足為H，P點(diǎn)是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A、D不重合），CP與BD交于E點(diǎn)．已知CH=

60

13

，DH：CD=5：13，設(shè)AP=x，四邊形ABEP的面積為y．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）用含x的代數(shù)式表示y．

Answer 1

分析：（1）設(shè)DH=5k，則CD=13k，從而可以用k表示CH，CH長(zhǎng)度已知，從而可求出Rt△CDH各邊的長(zhǎng)度．Rt△CDH∽R(shí)t△BCD，根據(jù)各邊長(zhǎng)的比即可求出BD的長(zhǎng)度．
（2）△PDE∽△BEC，BC比上PD等于BC邊上的高比上PD邊上的高．PD的長(zhǎng)度等于BC長(zhǎng)度減去x，從而可以用x表示PD上的高，進(jìn)而可以用x表示三角形PED的面積，四邊形ABEP的面積等于三角形ABD的面積減去三角形PED的面積．

解答：解：（1）在Rt△CHD中，cos∠CDB=

DH

DC

=

5

13

，
設(shè)DH=5k，DC=13k則CH=

DC2-DH2

=

(13k)2-(5k)2

=12k=

60

13

，即：k=

5

13

，
∴DH=

25

13

，DC=5，
在Rt△BCD中，BD=

DC

cos∠CDB

=5×

13

5

=13，
∴BD的長(zhǎng)為13．

（2）如圖，過點(diǎn)E分別作BC和PD的高，交BC于M，交PD于N．
∵PD∥BC，
∴△BCE∽△PDE．
∴

PD

BC

=

EN

EM

，
∵BD=13，CD=5，根據(jù)勾股定理得：BC=12；
PD=AD-x=12-x，MN=AB=5，
∴

PD

BC

=

EN

EM

，即

12-x

12

=

EN

5-EN

，
60-5x-（12-x）EN=12EN，
∴EN=

60-5x

24-x

，
∴△PDE的面積為：

1

2

×(12-x)×

60-5x

24-x

=

5(12-x)2

2(24-x)

；
△ABD的面積為：

1

2

×12×5=30；
四邊形ABEP的面積為：y=30-

5(12-x)2

2(24-x)

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用．第一問利用勾股定理和即可求出BC的長(zhǎng)度．從而也可以得出BC和CD的長(zhǎng)度．第二問中主要用到相似三角形的性質(zhì)，三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)邊上高的比，用含x的表達(dá)式表示三角形PED的面積，四邊形ABEP的面積等于三角形ABD的面積減去三角形PED的面積．