Question

如圖，拋物線y=-

3

8

x²-

3

4

x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)D為y軸上的一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）已知：直線y=-

k

4

x+k（k＞0）交x軸于點(diǎn)E，M為直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有四個(gè)時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)y=0時(shí)，求出x即可．
（2）利用平行線間的高相等，過B點(diǎn)作直線L₁∥AC交y軸于點(diǎn)D₁，可得出S_△ACB=S_△ACD1，利用坐標(biāo)求出直線AC解析式，再求出直線L₁的表達(dá)式，即可求出D₁坐標(biāo)，再根據(jù)根據(jù)關(guān)于對(duì)稱性可求得D₂坐標(biāo)．
（3）以AB為直徑作⊙F，過E點(diǎn)作⊙F的切線，切點(diǎn)為H，利用待定系數(shù)法求出切線的解析式，要使以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有四個(gè)，就要使直線y=-

k

4

x+k（k＞0）與⊙F相交，即可求出k的范圍．

解答：解：（1）令y=0，-

3

8

x²-

3

4

x+3=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-4，0）、B（2，0）．
（2）如圖1，過B點(diǎn)作直線L₁∥AC交y軸于點(diǎn)D₁，則S_△ACB=S_△ACD1，

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，代入A（-4，0），C（0，3），
得

-4k+b=0 b=3

，解得

k= 3 4 b=3

，
∴直線AC表達(dá)式y(tǒng)=

3

4

x+3．
∵直線L₁平行于AC，
∴設(shè)直線L₁的表達(dá)式為y=

3

4

x+b，代入B（2，0）．
解得：b=-

3

2

，
∴D₁點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-

3

2

），
根據(jù)關(guān)于對(duì)稱性可求得D₂坐標(biāo)為（0，

15

2

），
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（0，-

3

2

），（0，

15

2

）
（3）∵直線y=-

k

4

x+k（k＞0）交x軸于點(diǎn)E，令y=0，則-

k

4

x+k=0，解得x=4，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
如圖2，以AB為直徑作⊙F，過E點(diǎn)作⊙F的切線，切點(diǎn)為H，這樣的直線有2條，

∵直線y=-

k

4

x+k（k＞0）中的k＞0，
∴只取x軸上方的一條切線．
連接FH，過H作HN⊥x軸于點(diǎn)N．
∵A（-4，0），B（2，0），
∴F（-1，0），
∴FE=5，⊙F半徑FH=FB=3．
在Rt△HEF中，
HE=

52-32

=4，sin∠HFE=

4

5

，cos∠HFE=

3

5

．
在Rt△FHN中，HN=HN•sin∠HFE=3×

4

5

=

12

5

，
FN=HN•cos∠HFE=3×

3

5

=

9

5

，則ON=

4

5

，
∴H點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

5

，

12

5

）
設(shè)直線HE的表達(dá)式為y=kx+b，代入H（

4

5

，

12

5

），E（4，0），則有

4 5 k+b= 12 5 4k+b=0

，解得

k=- 3 4 b=3

，
所以切線HE的表達(dá)式為y=-

3

4

x+3．
∵過A、B點(diǎn)作x軸的垂線，其與直線y=-

3

4

x+3的兩個(gè)交點(diǎn)均可以與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，
∴要使以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有四個(gè)，就要使直線y=-

k

4

x+k（k＞0）與⊙F相交，
∵過E點(diǎn)的直線y=-

3

4

x+3與⊙F相切時(shí)，直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3），
∴過E點(diǎn)的直線y=-

k

4

x+k（k＞0）與⊙F相交時(shí)k的范圍是0＜k＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確直線y=-

k

4

x+k（k＞0）與⊙F相交時(shí)，以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有四個(gè)．據(jù)此求出k的取值范圍．