Question

4．已知二次函數y=-x²+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點坐標為A（-1，0），另一交點為B，與y軸的交點坐標為C（0，3）．
（1）求出b，c的值，并寫出此二次函數的解析式；
（2）求出頂點D的坐標以及S_△BCD面積；
（3）根據圖象，寫出函數值y為正數時，自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將A與C坐標代入二次函數解析式求出b與c的值，即可確定出二次函數解析式；
（2）作DM⊥y軸于M，把拋物線解析式化成頂點式，即可得出頂點坐標；求出拋物線與x軸的交點A與B坐標，S_△BCD=梯形OBDM的面積-△CDM的面積-△BOC的面積，即可得出結果；
（3）由點A與B坐標，利用圖象即可確定出x的范圍．

解答 解：（1）將A（-1，0）與C（0，3）代入二次函數解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴b=2，c=3，二次函數解析式為y=-x²+2x+3；
（2）作DM⊥y軸于M，如圖所示：
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D（1，4），
令y=0，則-x²+2x+3=0，
即（x-3）（x+1）=0，
可得：x-3=0或x+1=0，
解得：x=3，或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∵OC=3，
∴OM=4，
∴S_△BCD=梯形OBDM的面積-△CDM的面積-△BOC的面積
=$\frac{1}{2}$（1+3）×4-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×3×3
=3；
（3）∵A（-1，0），B（3，0），
根據圖象得：函數值y為正數時，即y＞0，自變量x的取值范圍為-1＜x＜3；

點評 此題考查了待定系數法求拋物線解析式，二次函數的性質，以及拋物線與x軸的交點，利用了數形結合的思想，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．