Question

（2012•桂林）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D為BC的中點(diǎn)．
（1）若E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AE=CF，求證：△AED≌△CFD；
（2）當(dāng)點(diǎn)F、E分別從C、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿CA、AB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A、B時(shí)停止；設(shè)△DEF的面積為y，F(xiàn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F、E分別沿CA、AB的延長線繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，進(jìn)而得到AD=BD=DC，為證明△AED≌△CFD提供了重要的條件；
 （2）利用S_{四邊形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=9 即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）依題意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，從而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面積相等得到S_△ADF=S_△BDE從而得到S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB即可確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D為BC中點(diǎn)
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°    
∴AD=BD=DC    （2分）
∵AE=CF∴△AED≌△CFD（SAS）    

（2）解：依題意有：FC=AE=x，
∵△AED≌△CFD
∴S_{四邊形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=9     
∴S△EDF=S四邊形AEDF-S△AEF=9-

1

2

(6-x)x=

1

2

x2-3x+9
∴y=

1

2

x2-3x+9；

（3）解：依題意有：AF=BE=x-6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°    
∴△ADF≌△BDE    
∴S_△ADF=S_△BDE
∴S_△EDF=S_△EAF+S_△ADB
=

1

2

(x-6)x+9=

1

2

x2-3x+9
∴y=

1

2

x2-3x+9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，考查的知識(shí)點(diǎn)雖然不是很多但難度較大．