Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)E在斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)D，若BE=6，BD=6

3

．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專(zhuān)題：

分析：（1）利用切線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出r的值即可；
（2）首先得出△ODE為等邊三角形，再利用S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD求出即可．

解答：解：（1）連接OD，
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥BC，
設(shè)⊙O的半徑為r，在直角三角形ODB中，
r²+（6

3

）²=（r+6）²
解得：r=6；

（2）連接DE，由（1）知，OE=BE，
則DE=

1

2

OB=6，
故△ODE為等邊三角形，
則∠DOE=60°，S_△EOD=

1

2

×6×

3

2

×6=9

3

，
則∠AOD=120°，
∵O是AE中點(diǎn)，
∴S_△AOD=S_△EOD=9

3

，
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD=

120π×62

360

-9

3

=12π-9

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)以及扇形面積求法以及勾股定理等知識(shí)，得出△ODE為等邊三角形是解題關(guān)鍵．