Question

用長8m的鋁材，做一個日字形窗框，如圖，問：
（1）高和寬各多少m時，窗戶的透光面積為m²？
（2）可不可能使窗戶的透光面積為2.7m²？
（3）高和寬各多少m時，窗戶的透光面積有最大值，最大面積為多少？

Answer 1

解：（1）設窗戶的寬為x米，則窗戶的高為米，
當窗戶的透光面積為m²，
即=x（），
解得：x₁=x₂=，
則=2，
高和寬，為2m和時，窗戶的透光面積為m²；

（2）當窗戶的透光面積為2.7m²，
即2.7=x（），
整理得出：3x ²-8x+5.4=0，
則b²-4ac=64-64.8=-0.8＜0，
故不可能使窗戶的透光面積為2.7m²；


（3）設矩形窗戶的透光面積為S平方米，窗戶的寬為x米，則窗戶的高為米，
由此得出S=x（），
整理得S=-x²+4x=-（x-）²+，
因為-＜0，拋物線開口向下，取得最大值，最大值為．
分析：（1）設窗戶的寬為x米，則窗戶的高為米，利用=x（），解方程得出即可；
（2）根據(jù)2.7=x（），整理為一元二次方程一般形式，進而利用△判斷即可；
（3）設出矩形窗戶的透光面積為S平方米，窗戶的寬為x米，則窗戶的高為米，利用長方形的面積求出函數(shù)解析式，進一步利用函數(shù)求最大值．
點評：此題主要考查了利用二次函數(shù)求實際問題的最大值與最小值以及一元二次方程的應用，表示出矩形窗戶的高是解題關鍵．