Question

如圖，等腰△ABC的頂角∠A=36°．⊙O和底邊BC相切于BC的中點D，并與兩腰相交于E、F、G、H四點，其中點G、F分別是兩腰AB、AC的中點．求證：五邊形DEFGH是正五邊形．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連結(jié)DF、DG，先證得四邊形AFDG是菱形，得出∠BGD=∠FDG=∠CFD=∠A=36°，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠CDE=∠CFD=36°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FDC=∠B=72°，從而求得∠EDF=36°，進(jìn)而求得∠BGD=∠CFD=∠EFD=∠FDG=∠GDH=36°，根據(jù)圓周角的性質(zhì)得出

HD

=

DE

=

EF

=

FG

=

GH

，即D、E、F、G、H將⊙O五等分，即可證得五邊形DEFGH是正五邊形．

解答：證明：連結(jié)DF、DG，
∵G、F分別是兩腰AB、AC的中點．D是等腰三角形ABC底邊的中線，
∴GD∥AC，GD=AF=

1

2

AC，DF∥AB，DF=AG=

1

2

AB，
∴四邊形AFDG是平行四邊形，
∵AB=AC，
∴GD=DF，
∴四邊形AFDG是菱形，
∴∠BGD=∠FDG=∠CFD=∠A=36°，
∵BC是切線，
∴∠CDE=∠CFD=36°，
∵DF∥AB，
∴∠FDC=∠B=72°，
∴∠EDF=36°，
同理：∠GDH=36°，
∴∠BGD=∠CFD=∠EFD=∠FDG=∠GDH=36°，
∴

HD

=

DE

=

EF

=

FG

=

GH

，
即D、E、F、G、H將⊙O五等分，
∴五邊形DEFGH是正五邊形．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．