Question

已知：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，P是邊BC上的一個動點，AP交對角線BD于點E，BQ⊥AP，交對角線AC于點F、邊CD于點Q，聯(lián)結(jié)EF．
（1）求證：OE=OF；
（2）聯(lián)結(jié)PF，如果PF∥BD，求BP：PC的值；
（3）聯(lián)結(jié)DP，當(dāng)DP經(jīng)過點F時，試猜想點P的位置，并證明你給猜想．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）若要證明OE=OF，則問題可轉(zhuǎn)化為兩條線段所在的三角形即△OAE和△OBF全等即可；
（2）首先證明四邊形BPFE是平行四邊形，又因為BQ⊥AP，所以平行四邊形BPFE是菱形，進而可求出BP：PC的值；
（3）當(dāng)DP經(jīng)過點F時，點P在BC中點，通過證明Rt△ABP≌Rt△DCP，由全等三角形的性質(zhì)：BP=CP，問題得證．

解答：（1）證明：∵BQ⊥AP，
∴∠EBF+∠BEP=90°，
∵∠OAE+∠OEA=90°，∠BEP=∠OEA，
∴∠EBF=∠OAE，
在△OAE和△OBF中

∠OAE=∠EBF OA=OB ∠BOF=∠AOE=90°

，
∴△OAE≌△OBF（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵OE=OF∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
同理∠OBC=∠OCB=45°
∴∠OEF=∠OBC，
∴EF∥BC，
∵PF∥BD，
∴四邊形BPFE是平行四邊形，
∵BQ⊥AP，
∴平行四邊形BPFE是菱形，
∴BP=PF=

2

2

PC，即BP：PC=

2

2

（3）證明：∵△OAE≌△OBF，
∴∠1=∠2，
∵AC⊥BD，OB=OD，
∴BF=DF，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
在△APF和△DPE中，

∠2=∠3 ∠P=∠P AF=DE

，
∴△APF≌△DPE（AAS），
∴AP=DP，
∵∠ABP=∠DCP=90°，AB=DC，
在Rt△ABP和Rt△DCP中，

AP=DP AB=DC

，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL），
∴BP=CP，
∴點P在BC中點．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟記各種特殊四邊形的判定方法和性質(zhì)．