Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=

1

2

x+1分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B．點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿著y軸正方向作勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)D也從點(diǎn)B出發(fā)，在直線l上沿著AB方向勻速運(yùn)動．連接CD，以BC、CD為邊構(gòu)造平行四邊形BCDE．設(shè)點(diǎn)C的運(yùn)動速度為v₁，點(diǎn)D的運(yùn)動速度為v₂．
（1）當(dāng)點(diǎn)C在（0，4）處，點(diǎn)E恰好落在x軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

 

；
（2）當(dāng)點(diǎn)C的運(yùn)動速度v₁=1，點(diǎn)D的運(yùn)動速度v₂=

5

時，請判斷平行四邊形的形狀BCDE，并說明理由；
（3）在C、D兩點(diǎn)的運(yùn)動過程中，當(dāng)v₁，v₂滿足什么關(guān)系時，平行四邊形BCDE會成為菱形？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用直線解析式求出A、B的坐標(biāo)，再求出BC，然后根據(jù)平行四邊形對邊相等可得DE=BC，再代入直線解析式求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似求出△ABO和△DBC相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠DCB=∠AOB，然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BC=CD，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和∠DBC的余弦列出等式，然后化簡即可．

解答：解：（1）令y=0，則

1

2

x+1=0，解得x=-2，
令x=0，則y=1，
所以，點(diǎn)A（-2，0），B（0，1），
∵點(diǎn)C（0，4），
∴BC=4-1=3，
∵四邊形BCDE是平行四邊形，
∴DE=BC=3，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是3，
當(dāng)y=3時，

1

2

x+1=3，
解得x=4，
所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）；
故答案為：（4，3）；

（2）平行四邊形BCDE是矩形．
理由如下：∵A（-2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

22+12

=

5

，
∴

AB

OB

=

5

1

=

5

，
∵點(diǎn)C的運(yùn)動速度v₁=1，點(diǎn)D的運(yùn)動速度v₂=

5

，
∴

BD

BC

=

5

，
∴

AB

OB

=

BD

BC

，
又∵∠ABO=∠DBC（對頂角相等），
∴△ABO∽△DBC，
∴∠DCB=∠AOB=90°，
∴平行四邊形BCDE是矩形；

（3）∵平行四邊形BCDE為菱形，
∴BC=CD，
∴cos∠DBC=

v2 2

v1

=

v2

2v1

，
∵cos∠ABO=

OB

AB

=

1

5

，∠DBC=∠ABO（對頂角相等），
∴

v2

2v1

=

1

5

，
∴v₁=

5

2

v₂，
故v₁=

5

2

v₂時，平行四邊形BCDE會成為菱形．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的對邊平行且相等，矩形的判定，菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)對頂角的余弦相等列出方程．