Question

如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是CD、AD上的點，且滿足AF=DE，連接BF、AE，交點為O，
（1）請判斷AE與BF的關系，并證明你的結論．
（2）如圖2，連接BE、EF，若G、H、P、Q分別是AB、BE、EF、FA的中點，試說明四邊形GHPQ是正方形．

Answer 1

解：（1）AE=BF，AE⊥BF．
證明：在△ABF和△DAE中，
∵，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴BF=AE，∠BFA=∠AED，
又∠EAD+∠AED=90°，
∴∠BFA+∠AED=90°，
∴AE⊥BF；
（2）理由：由（1）可知四邊形ABEF的對角線互相垂直且相等，
∵GQ為△ABF的中位線，
∴GQ=BF，GQ∥BF，
同理可證PH=BF，PH∥BF，
即PH=GQ，PH∥GQ，四邊形PQGH為平行四邊形，
易證PQ=AE=BF=PH，∴?PQGH菱形，
∵AE⊥BF，
∴PQ⊥PH，菱形PQGH為正方形．
分析：（1）根據(jù)條件證明△ABF≌△DAE，利用全等的性質證明AE=BF，AE⊥BF；
（2）由（1）的結論可知，四邊形ABEF的對角線互相垂直且相等，根據(jù)三角形中位線的性質可證明四邊形GHPQ是正方形．
點評：本題考查了正方形的性質，與判定，全等三角形的判定與性質．關鍵是利用正方形的性質證明三角形全等，利用性質證明AE與BF的相等與垂直關系．