Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AB=3，tan∠AOB=，將△OAB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA₁B₁；再將△OA₁B₁繞著線(xiàn)段OB₁的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA₂B₁，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、B₁、A₂．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式．

（2）在第三象限內(nèi)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PBB₁的面積最大？求出這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）在第三象限內(nèi)，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線(xiàn)段BB₁的距離為？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）P（﹣2，）（3）存在，（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）

【解析】解：（1）∵AB⊥x軸，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4。

      ∴B（﹣4，0），B₁（0，﹣4），A₂（3，0）。

∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、B₁、A₂，

∴，解得。

∴拋物線(xiàn)的解析式為：。

（2）點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C．

 

 

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），

則m＜0，n＜0，。

∴PC=|n|=﹣，OC=|m|=﹣m，

BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m。

∴

∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，△PBB₁的面積最大，這時(shí)，n=，即點(diǎn)P（﹣2，）。

（3）存在。

假設(shè)在第三象限的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q（x₀，y₀），使點(diǎn)Q到線(xiàn)段BB₁的距離為。

如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BB₁于點(diǎn)D，設(shè)Q（x_Q，y_Q），

 

 

由（2）可知，此時(shí)△QBB₁的面積可以表示為：

，

在Rt△OBB₁中，。

∵，

∴，解得x_Q=﹣1或x_Q=﹣3。

當(dāng)x_Q=﹣1時(shí)，y_Q=﹣4；當(dāng)x_Q=﹣3時(shí)，y_Q=﹣2。

因此，在第三象限內(nèi)，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線(xiàn)段BB₁的距離為，這樣的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）。

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點(diǎn)B、B₁、A₂三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得拋物線(xiàn)的解析式。

（2）求出△PBB₁的面積表達(dá)式，這是一個(gè)關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出△PBB₁面積的最大值。

（3）引用（2）問(wèn)中三角形面積表達(dá)式的結(jié)論，利用此表達(dá)式表示出△QBB₁的面積，然后解一元二次方程求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)。