Question

19．如圖，⊙O的半徑是7，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過圓心O分別作AB、BC、AC的垂線段，垂足為E、F、G，連接EF．若OG=4，則EF為$\sqrt{33}$．

Answer 1

分析 連結(jié)OC，由OG⊥AC，根據(jù)垂徑定理得CG=AG，在Rt△OCG中，利用勾股定理可計(jì)算出CG，得出AC=2CG=2$\sqrt{33}$，再由OE⊥AB，OF⊥BC得到AE=BE，BF=CF，則EF為△BAC的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到EF=$\frac{1}{2}$AC，即可得出結(jié)果．

解答 解：連結(jié)OC，如圖，
∵OG⊥AC，
∴CG=AG，
在Rt△OCG中，CG=$\sqrt{O{C}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}{-4}^{2}}$=$\sqrt{33}$，
∴AC=2CG=2$\sqrt{33}$，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE=BE，BF=CF，
∴EF為△BAC的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{33}$．
故答案為$\sqrt{33}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理、勾股定理和三角形中位線性質(zhì)定理；由勾股定理求出CG得出AC是解決問題的突破口．