Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線并在其上取一點C，連接OC交⊙O于點D，BD的延長線交AC于E，連接AD．
（1）求證：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2

2

，求AE的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則∠B+∠BAD=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)，由AC為⊙O的切線得∠BAD+∠CAD=90°，則∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，則∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根據(jù)三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；
（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2

2

，根據(jù)勾股定理可計算出OC=3，則CD=OC-OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根據(jù)相似比可計算出CE，再由AE=AC-CE可得AE的值．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC為⊙O的切線，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD；

（2）解：∵AB=2，
∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2

2

，
∴OC=

OA2+AC2

=3，
∴CD=OC-OD=3-1=2，
∵△CDE∽△CAD，
∴

CD

CE

=

CA

CD

，即

2

CE

=

2 2

2

，
∴CE=

2

．
∴AE=AC-CE=2

2

-

2

=

2

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．