Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連接CB，在直線CB上方的拋物線上有一點M，使得△BCM的面積最大，求出M點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）根據(jù)點P在拋物線對稱軸上，可設(shè)點P的坐標為（1，m），分三種情況討論，①PC=BC，②PB=BC，③PB=PC，求出m的值后即可得出答案．
（3）設(shè)M的坐標為（n，-n²+2n+3），根據(jù)S_△BCM=S_△OBC+S_△OCM-S_△OBC即可得出△BCM的面積S關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，進而求得M的坐標．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）存在，理由如下：
∵拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，
∴拋物線的對稱軸為：x=1，假設(shè)存在P（1，m）滿足題意：
討論：
①當PC=BC時，
∵OB=3，OC=3，
∴BC=3

2

，
∴

12+(3-m)2

=3

2

，
解得：m=3±

17

，
∴P₁（1，3+

17

），P₂（1，3-

17

）；
②當PB=BC時，

(3-1)2+m2

=3

2

，
解得：m₃=

14

，m₄=-

14

，
∴P₃（1，

14

），P₄（1，-

14

），
③當PB=PC時，

12+(3-m)2

=

(3-1)2+m2

，
解得：m=1，
∴P₅（1，1），
綜上，共存在5個點P₁（1，3+

17

），P₂（1，3-

17

），P₃（1，

14

），P₄（1，-

14

），P₅（1，1），使△PBC為等腰三角形．

（3）如圖，設(shè)M的坐標為（n，-n²+2n+3），
∵B（3，0），C（0，3）．
∴OB=3，OC=3，
∴S_△OBC=

1

2

×3×3=

9

2

，S_△OBM=

1

2

×3×（-n²+2n+3）=

3

2

（-n²+2n+3），_△OCM=

1

2

×3×n=

3

2

n，
∴S_△BCM=S_△OBC+S_△OCM-S_△OBC=

3

2

（-n²+2n+3）+

3

2

n-

9

2

=-

3

2

（n-

3

2

）²+

27

8

，
∴當n=

3

2

時，△BCM的面積最大，最大值是

27

8

，
∴M（

3

2

，

27

8

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的求法等，難點在于（2），注意分類討論，不要漏解．