Question

【題目】如圖，在中，4AB=5AC，AD為的角平分線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AF上，FG=FD，連接EG交AC于點(diǎn)H，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，則的值為___________

Answer 1

【答案】

【解析】

利用角平分線的性質(zhì)，得到BD＝CD；延長(zhǎng)AC，構(gòu)造一對(duì)全等三角形△ABD≌△AMD；

過(guò)點(diǎn)M作MN∥AD，由MD＝BD＝KD＝CD，得到等腰△DMK；然后利用角之間關(guān)系證明DM∥GN，從而推出四邊形DMNG為平行四邊形；由MN∥AD，列出比例式，求出的值．

解：已知AD為角平分線，則點(diǎn)D到AB、AC的距離相等，設(shè)為h．

∵，

∴BD＝CD．

如圖，延長(zhǎng)AC，在AC的延長(zhǎng)線上截取AM＝AB，則有AC＝4CM．連接DM．

在△ABD與△AMD中，AB＝AM，∠BAD＝∠MAD，AD＝AD，

∴△ABD≌△AMD（SAS），

∴MD＝BD＝CD．

過(guò)點(diǎn)M作MN∥AD，交EG于點(diǎn)N，交DE于點(diǎn)K．

∵MN∥AD，

∴，

∴CK＝CD，

∴KD＝CD．

∴MD＝KD，即△DMK為等腰三角形，

∴∠DMK＝∠DKM．

由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1＝∠2；

∵MN∥AD，

∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，

又∵∠DKM＝∠1，

∴∠DMK＝∠4，

∴DM∥GN，

∴四邊形DMNG為平行四邊形，

∴MN＝DG＝2FD．

∵點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，AC＝4CM，

∴．

∵MN∥AD，

∴，即，

∴．

故答案為：．