Question

方程x=

x- 1 x

+

1- 1 x

的根為

 

．

Answer 1

考點：無理方程

專題：

分析：首先利用換元法令a=

x- 1 x

≥0，b=

1- 1 x

≥0，進而得出a+b=x 及a²-b²=x-1，得出關(guān)于b的方程，進而求出即可．

解答：解：x=

x- 1 x

+

1- 1 x

，
令a=

x- 1 x

≥0，b=

1- 1 x

≥0，
則方程有：
a+b=x 及a²-b²=x-1
兩式相除得：a-b=

x-1

x

=b²，故a=b+b²，
兩式相減得：a+b-a²+b²=1
代入a，得：b+b²+b-（b+b²）²+b²=1
2（b+b²）-（b+b²）²=1
[（b²+b）-1]²=1
b²+b-1=0
解得：b₁=

-1- 5

2

（不合題意舍去），b₂=

-1+ 5

2

，
故x=

1

1-b2

=

1

b

=

2

5 -1

=

5 +1

2

，
檢驗：當x=

5 +1

2

時，原式都有意義，故原方程的解為：x=

5 +1

2

．

點評：此題主要考查了無理方程的解法，正確利用換元法解方程是解題關(guān)鍵．