Question

如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，AD⊥BC于D，連接AC，∠DAC=∠CAP．AP交BC的延長線于P．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若DC=3cm，CP=5cm，求⊙O的直徑BC的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OA，證明OA⊥AP即可；
（2）過點C作CE⊥AP于E，證得PEC∽△PAO，設(shè)⊙O半徑為Rcm，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等得到

3

R

=

5

5+R

后即可求得半徑．

解答：解：（1）證明：連接OA，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠CAP，
∴∠OAC+∠CAP=90°
∴∠OAP=90°，
∵OA為半徑，
∴PA是⊙O的切線；

（2）過點C作CE⊥AP于E
∵∠DAC=∠CAP，CD⊥AD于D，CE⊥AP于E
∴CE=CD=3，
∵∠OAP=∠CEP=90°，∠P=∠P，
∴△PEC∽△PAO，
∴

CE

OA

=

PC

PO

，
設(shè)⊙O半徑為Rcm，

3

R

=

5

5+R

，
R=

15

2

∴⊙O的直徑BC的長為15cm．

點評：本題考查了切線的判定，解決切線問題時，常作的輔助線是連接圓心和切點．