Question

定義一種對于三位數(shù)

.

abc

（a、b、c不完全相同）的“F運算”：重排

.

abc

的三個數(shù)位上的數(shù)字，計算所得最大三位數(shù)和最小三位數(shù)的差（允許百位數(shù)字為零）．例如

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abc

=213時，則

（1）579經(jīng)過三次“F運算”得

495

；
（2）假設(shè)

.

abc

中a＞b＞c，則

.

abc

經(jīng)過一次“F運算”得

99（a-c）

（用代數(shù)式表示）；
（3）猜想；任意一個三位數(shù)經(jīng)過若干次“F運算’’都會得到一個定值

495

，請證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“F運算”的定義得到579經(jīng)過三次“F運算”的結(jié)果即可；
（2）

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abc

=100a+10b+c，

.

cba

=100c+10b+a，相減即可求解；
（3）設(shè)這個三位數(shù)中三個數(shù)字為a≥b≥c，且a≥c+1，則“F運算”有

.

abc

-

.

cba

=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），找出規(guī)律解決問題．

解答：解：（1）①975-579=396；②963-369=594；③954-459=495；

（2）（100a+10b+c）-（100c+10b+a）
=100a+10b+c-100c-10b-a
=99a-99c
=99（a-c）；

（3）不妨設(shè)這個三位數(shù)中三個數(shù)字為a≥b≥c，且a≥c+1，
則“F運算”有

.

abc

-

.

cba

=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），
因此所得的三位數(shù)中必有一個9，而另外兩個數(shù)字之和為9；
共有990，981，972，963，954五種情況；
以990為例得，990-099=891，
981-189=792，
972-279=693，
963-369=594，
954-459=495，
…
由此可知最后得到495數(shù)就會循環(huán)．
故答案為：495；99（a-c）；495．

點評：考查了整數(shù)的十進制表示法，主要從數(shù)的變化中得到第一次變化后所得到的數(shù)，由此找出規(guī)律得出問題的解．設(shè)出這三位數(shù)，根據(jù)題意列出算式是解答本題的關(guān)鍵．