Question

我們已經(jīng)學(xué)過(guò)幾種基本的尺規(guī)作圖，如：作一個(gè)角的平分線(xiàn)．還有“過(guò)一個(gè)點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)”也是一種基本的尺規(guī)作圖．（一）當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在這條已知直線(xiàn)上時(shí)，可以像圖（1）那樣作出，OC就是所要求作的垂線(xiàn)；（二）當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在這條已知直線(xiàn)外時(shí)，作法如下：在直線(xiàn)AB的另一側(cè)任取一點(diǎn)K；以點(diǎn)C為圓心，CK為半徑畫(huà)弧，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E、F；分別以點(diǎn)E、F為圓心，以略大于

1

2

EF的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D；經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D畫(huà)直線(xiàn)m；則直線(xiàn)CD就是所要求作的垂線(xiàn)．
試回答下列問(wèn)題：
（1）在作圖（一）中OC為什么是直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)？
（2）（Ⅰ）在作圖（二）中，求證：直線(xiàn)m⊥AB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平角和直角的定義作答；
（2）由作圖過(guò)程可得CE=CF=DE=DF，則△CDE≌△CDF，可得m平分∠ECF，由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得m⊥AB．

解答：解：
（1）∵∠AOB=180°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=90°，
∴OC⊥AB；

（2）由作圖過(guò)程可得CE=CF=DE=DF，
又∵CD是公共邊，
∴△CDE≌△CDF，
∴∠ECD=∠FCD，
即m平分∠ECF，
∴m⊥AB（等腰三角形的三線(xiàn)合一）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)的證法，利用了垂線(xiàn)的定義和等腰三角形的性質(zhì)求證．