Question

11．如圖：小明同學正在操場上放風箏，風箏從A處起飛，幾分鐘后便飛達C處，此時，在AQ延長線上B處的小亮同學，發(fā)現(xiàn)自己的位置與風箏和旗桿PQ的頂點P在同一直線上．
（1）已知AB為30米，若在B處測得旗桿頂點P的仰角為30°，A處測得點P的仰角為45°，試求旗桿高；
（2）此時，在A處背向旗桿又測得風箏的仰角為75°，繩子在空中視為一條線段，求繩子AC為多少米？（結果保留根號）

Answer 1

分析 （1）設旗桿高度PQ=x，在RT△APQ中可得AQ=PQ=x，在RT△BPQ中可得BQ=$\sqrt{3}$x，根據(jù)AQ+BQ=AB列出方程，解方程可得；
（2）過A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中可得AE=15m，在Rt△CAE中根據(jù)sin∠C=$\frac{AE}{AC}$可求得AC．

解答 解：（1）設旗桿的高PQ=xm，
在RT△APQ中，∵∠PAQ=45°，
∴AQ=PQ=x，
在RT△BPQ中，∵∠B=30°，
∴BQ=$\frac{PQ}{tan∠B}$=$\sqrt{3}$x，
∵AQ+BQ=AB，且AB=30，
∴x+$\sqrt{3}$x=30，解得：x=15$\sqrt{3}$-15，
故旗桿高度為（15$\sqrt{3}$-15）m；
（2）過A作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，∵∠B=30°，AB=30m，
∴AE=sin30°×AB=15m，
∵∠CAD=75°，∠B=30°，
∴∠C=45°，
在Rt△CAE中，∵sin∠C=$\frac{AE}{AC}$，
∴AC=$\frac{AE}{sin∠C}$=15$\sqrt{2}$m，
故繩子AC為15$\sqrt{2}$米．

點評 本題考查了仰角、俯角的問題及解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是結合圖形構造直角三角形，利用三角函數(shù)解直角三角形．