Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x²+2x+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標(biāo)為（-2，0），點D為拋物線頂點，直線BD與y軸交于點F、P是線段BD上一點．
（1）求拋物線的解析式及B點的坐標(biāo)．
（2）判斷△BCD的形狀，并說明理由．
（3）若∠BDC=∠PCF，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可，再利用y=0時，求出圖象與x軸交點坐標(biāo)即可；
（2）首先求出C，D點坐標(biāo)，再利用勾股定理得出CD，BC，BD的長，進(jìn)而利用勾股定理逆定理得出△BCD的形狀；
（3）根據(jù)（2）中所求得出tan∠BDC=tan∠PCF=3，進(jìn)而求出直線BD的解析式，進(jìn)而表示出P點坐標(biāo)，即可代入上式即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

2

x²+2x+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標(biāo)為（-2，0），
∴0=-

1

2

×（-2）²+2×（-2）+c，
解得；c=6，
∴拋物線的解析式為；y=-

1

2

x²+2x+6，
當(dāng)y=0，則0=-

1

2

x²+2x+6，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∴B點的坐標(biāo)為；（6，0）；

（2）如圖1，過點D作DE⊥x軸于點E，作CN⊥DE于點N，
∵y=-

1

2

x²+2x+6，當(dāng)x=0時，y=6，
∴C（0，6），
∵y=-

1

2

x²+2x+6=-

1

2

（x-2）²+8，
∴D（2，8），
∴BC=

62+62

=6

2

，CD=

CN2+DN2

=2

2

，BD=

ED2+BE2

=

80

，
∴BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形；

（3）如圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，
∵B（（6，0），D（2，8），設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
則

2k+b=8 6k+b=0

，
解得：

k=-2 b=12

，
∴直線BD的解析式為：y=-2x+12，
∵∠BDC=∠PCF，
∴tan∠BDC=tan∠PCF=

BC

CD

=

PN

NC

=

6 2

2 2

=3，
設(shè)P點坐標(biāo)為：（x，-2x+12），
∴NC=NO-CO=-2x+12-6=-2x+6，
NP=x，
∴

x

-2x+6

=3，
解得；x=

18

7

，
經(jīng)檢驗得出：x=

18

7

是原方程的根，
∴-2x+12=-2×

18

7

=12=

48

7

，
∴P（

18

7

，

48

7

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及勾股定理以及逆定理和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，利用圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)表示出P點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．