Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒）．
（1）設(shè)△DPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為何值時，四邊形PCDQ是平行四邊形？
（3）分別求出當(dāng)t為何值時，①PD=PQ，②DQ=PQ．

Answer 1

分析：（1）S_△QDP=

1

2

DQ•AB，由題意知：AQ=t，DQ=AD-AQ=16-t，將DQ和AB的長代入，可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)四邊形PCDQ為平行四邊形時，PC=DQ，即16-t=21-2t，可將t求出；
（3）當(dāng)PD=PQ時，可得：AD=3t，從而可將t求出；當(dāng)DQ=PQ時，根據(jù)DQ²=PQ²即：t²+12²=（16-t）²可將t求出．

解答：（1）解：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，
依題意AQ=t，BP=2t，則DQ=16-t，PC=21-2t，
過點(diǎn)P作PE⊥AD于E，
則四邊形ABPE是矩形，PE=AB=12，
∴S_△DPQ=

1

2

DQ•AB=

1

2

（16-t）×12=-6t+96．

（2）當(dāng)四邊形PCDQ是平行四邊形時，PC=DQ，
∴21-2t=16-t解得：t=5，
∴當(dāng)t=5時，四邊形PCDQ是平行四邊形．

（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，
①當(dāng)PD=PQ時，QE=ED=

1

2

QD，
∵DE=16-2t，
∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16-2t，
解得：t=

16

3

，
∴當(dāng)t=

16

3

時，PD=PQ
②當(dāng)DQ=PQ時，DQ²=PQ²
∴t²+12²=（16-t）²解得：t=

7

2

∴當(dāng)t=

7

2

時，DQ=PQ

點(diǎn)評：本題主要考查梯形、平行四邊形的特殊性質(zhì)，在解題過程中要注意數(shù)形結(jié)合．