Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)的點(diǎn)A（﹣4，0）、點(diǎn)B（6，0）的 拋物線與y軸相交于點(diǎn)C（0，m），連接BC．

（1）若△OAC∽△OCB，請(qǐng)求出m的值；
（2）當(dāng)m=3時(shí)，試求出拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若P為拋物線上位于x軸上方的一動(dòng)點(diǎn)，以P、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S，當(dāng)S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣4，0）、B（6，0）、C（0，m），

∴OA=4，OB=6，OC=m，

∵△OAC∽△OCB，

∴ = ，

∴OC2=OAOB，即m2=24，

∴m=2

（2）

解：當(dāng)m=3時(shí)，C（0，3），

∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3（a≠0）．

把A（﹣4，0）、B（6，0）代入，得

，

解得 ，

故該拋物線解析式為：y=﹣ x2+ x+3

（3）

解：設(shè)P（x，﹣ x2+ x+3）．

①若點(diǎn)P在OC的左側(cè)，連接OP．

S=S△AOP+S△POC+S△OBC

= ×4×（﹣ x2+ x+3）﹣ ×3x+ ×6×3

=﹣ （x+2）2+16；

②若點(diǎn)P在OC的右側(cè)，連接OP．

S=S△ACO+S△POC+S△POB

= ×4×3+ ×3x+ ×6×（﹣ x2+ x+3）

=﹣ （x﹣3）2+ ，

＞16，

∴當(dāng)點(diǎn)P在OC的左側(cè)時(shí)，四邊形PCAB的面積最大值是16，此時(shí)點(diǎn)P的位置只有一個(gè)．

16=﹣ （x﹣3）2+ ，

解得x=3± ，

∴當(dāng)點(diǎn)P在OC的右側(cè)時(shí)，四邊形PCAB的面積等于16，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的位置有2個(gè)．

綜上所述，以P、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形面積S等于16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)．

【解析】（1）利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得m的值即可；（2）利用待定系數(shù)法求得拋物線解析式；（3）需要分類討論：點(diǎn)P在OC的左側(cè)、右側(cè)兩種情況．利用分割法求得S的值，進(jìn)行比較即可得到答案．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�