Question

直線y=kx+b（k≠0）與雙曲線y=

m

x

（m≠0）交于點A（2，3）、點B（x，y），當∠OAB是銳角時，x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：由函數(shù)圖象得到B在第三象限時，滿足∠OAB是銳角；當B在第一象限時，抓住特殊情況，即OA與AB垂直時，由OA的斜率求出直線AB的斜率，表示出直線AB方程，將A坐標代入反比例解析式求出m的值，確定出反比例解析式，與直線AB聯(lián)立求出B的橫坐標，確定出∠OAB是銳角時x的范圍，綜上，得到滿足題意x的范圍．

解答：解：當x＜0，即B在第三象限時，顯然滿足∠OAB是銳角；
當x＞0時，即B在第一象限，設OA⊥AB時，
∵直線OA的斜率為

3

2

，
∴直線AB斜率為-

2

3

，即直線AB解析式為y-3=-

2

3

（x-2），
整理得：2x+3y-13=0，
將A（2，3）代入反比例解析式得：m=6，即y=

6

x

，
聯(lián)立得：

2x+3y-13=0 y= 6 x

，
消去y得：2x²-13x+18=0，即（2x-9）（x-2）=0，
解得：x=

9

2

或x=2（此時B與A重合，不合題意，舍去），
∴B橫坐標為

9

2

，
此時當∠OAB是銳角時，x的范圍為0＜x＜

9

2

，且x≠2，
綜上，當∠OAB是銳角時，x的取值范圍是0＜x＜

9

2

且x≠2或x＜0．
故答案為：0＜x＜

9

2

且x≠2或x＜0．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，兩直線垂直時斜率滿足的關系，弄清題意是解本題的關鍵．