Question

在直角坐標系xOy 中，已知某二次函數的圖象經過A（-4，0）、B（0，-3），與x軸的正半軸相交于點C，若△AOB∽△BOC（相似比不為1）．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求△ABC的外接圓半徑r；
（3）在線段AC上是否存在點M（m，0），使得以線段BM為直徑的圓與線段AB交于N點，且以點O、A、N為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設二次函數y=ax²+bx+c的解析式，首先求出B點坐標，然后由△AOB∽△BOC，根據相似三角形的對應邊成比例，求出OC的長度，得出C點坐標；根據相似三角形的對應角相等得出∠OAB=∠OBC，從而得出∠ABC=90°；由y=ax²+bx+c圖象經過點A（-4，0），B（0，-3），運用待定系數法即可求出此二次函數的關系式；
（2）由已知條件證明△ABC是直角三角形，利用直角三角形的外接圓的直徑等于其斜邊即r=

c

2

，求解即可；
（3）如果以點O、A、N為頂點的三角形是等腰三角形，那么分三種情況討論：①當AN=ON時，②當AN=OA時，當ON=OA時，針對每一種情況，都應首先判斷M點是否在線段AC上．

解答：解：（1）∵△AOB∽△BOC（相似比不為1），
∴

OC

OB

=

OB

OA

，
又∵OA=4，OB=3，
∴OC=

3×3

4

=

9

4

，
∴點C（

9

4

，0），
設圖象經過A、B、C三點的函數解析式是y=ax²+bx+c，則：

0=16a-4b+c -3=c 0= 81 16 a+ 9 4 b+c

，
解得，a=

1

3

，b=

7

12

，
∴這個函數的解析式是y=

1

3

x²+

7

12

x-3；

（2）∵△AOB∽△BOC（相似比不為1），
∴∠BAO=∠CBO．
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°
∴AC是△ABC外接圓的直徑．
∴r=

1

2

AC=

1

2

×（OA+OC）=

25

8

；

（3）∵點N在以BM為直徑的圓上，
∴∠MNB=90°，
①當AN=ON時，點N在OA的中垂線上，
∴點N₁是AB的中點，M₁是AC的中點．
∴AM₁=r=

25

8

，點M₁（-

7

8

，0），即m₁=-

7

8

；
②當AN=OA時，Rt△AM₂N₂≌Rt△ABO，
∴AM₂=AB=5，點M₂（1，0），即m₂=1．
③當ON=OA時，點N顯然不能在線段AB上．
綜上，符合題意的點M（m，0）存在，有兩解：
m=-

7

8

，或1．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的性質，探究等腰三角形的構成情況等重要知識點，綜合性強，能力要求高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．