Question

8．如圖，等腰直角△ABC和等腰直角△AEF，∠BAC=∠EAF=90°，連結(jié)CE、BF，延長(zhǎng)EA交BF于P，當(dāng)點(diǎn)P為BF的中點(diǎn)時(shí)，求$\frac{CE}{AP}$的值．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)FA到G使AG=AF，如圖，易得PA為△FBG的中位線，則BG=2PA，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=AC，AE=AF，∠GAE=90°，則AG=AE，接著證明△ABG≌△ACE，得到BG=CE，所以CE=2PA，于是可得到$\frac{CE}{AP}$的值．

解答 解：延長(zhǎng)FA到G使AG=AF，如圖，
∵點(diǎn)P為BF的中點(diǎn)，
∴PA為△FBG的中位線，
∴BG=2PA，
∵等腰直角△ABC和等腰直角△AEF，∠BAC=∠EAF=90°，
∴AB=AC，AE=AF，∠GAE=90°，
∴AG=AE，
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABG和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠2=∠1}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACE，
∴BG=CE，
∴CE=2PA，
∴$\frac{CE}{AP}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建△ABG與△ACE全等．