Question

已知拋物線y=x²-2x-8，完成下列各題：
（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．分別為A、B（A在B的左側(cè)）求A、B的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC的面積等于15？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）根據(jù)△＞0，即可判定該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）解方程x²-2x-8=0，即可求得x的值，即可求得A，B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)C使得△ABC的面積等于15，則C點(diǎn)縱坐標(biāo)為5或-5，討論：①點(diǎn)C縱坐標(biāo)為5，②點(diǎn)C縱坐標(biāo)為-5，分別求得x的值，即可解題．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-8=0，
∵△=4+32=36＞0，
∴該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-8=0，
即：（x+2）（x-4）=0，
∴x=-2或4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0）；
（4）假設(shè)存在點(diǎn)C使得△ABC的面積等于15，
∵AB=6，∴點(diǎn)C縱坐標(biāo)為5或-5，
①點(diǎn)C縱坐標(biāo)為5，x²-2x-8=5，解得：x=1+

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或1-

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，
∴存在點(diǎn)C坐標(biāo)為（1+

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，5）、（1-

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，5）；
②點(diǎn)C縱坐標(biāo)為-5，x²-2x-8=-5，解得：x=3或-1，
∴存在點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，-5）、（-1，5）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解，考查了拋物線與x軸交點(diǎn)的判定，考查了三角形面積計(jì)算，本題中分類討論點(diǎn)C坐標(biāo)為5或-5是解題的關(guān)鍵．