Question

如圖1，∠ABC的平分線和外角∠ACD的平分線相交于O₁點(diǎn)．若∠BAC=40°．
（1）求∠BO₁C的度數(shù)；
（2）如圖2，在（1）的條件下，再畫∠O₁BC和∠O₁CD的角平分線相交于O₂點(diǎn)，求∠BO₂C的度數(shù)；
（3）若∠BAC=n°，按上述規(guī)律繼續(xù)畫下去，請直接寫出∠BO₂₀₁₄C的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)∠O₁CD=∠O₁+∠O₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，得出O₁B、O₁C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠O₁CD，∠ABC=2∠O₁BC，于是得出∠A=2∠BO₁C，從而得出答案；
（2）（3）根據(jù)（1）的過程同理可得∠BO₁C=2∠BO₂C，因此找出規(guī)律，即可得出答案．

解答：解：（1）∵O₁B、O₁C分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠O₁CD，∠ABC=2∠O₁BC，
∵∠O₁CD=∠BO₁C+∠O₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠BO₁C=40°，
∴∠BO₁C=20°；

（2）根據(jù)（1）可得：
∠BO₁C=2∠BO₂C，
即∠A=2²∠BO₂C=40°，
∴∠BO₂C=10°，

（3）根據(jù)（2）可得：∠A=2ⁿ∠A_n，
∴∠A_n=n°×（

1

2

）ⁿ．
則∠BO₂₀₁₄C=（

1

2

）²⁰¹⁴•n°

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°；用到的知識點(diǎn)是三角形的內(nèi)角和、三角形的外角性質(zhì)以及角平分線性質(zhì)．