Question

如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，若將△APB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△CQB．
（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離．
（2）求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）由已知△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△QAB，可得△PAC≌△P′AB，PA=QA，旋轉(zhuǎn)角∠QAP=∠BAC=60°，所以△APQ為等邊三角形，即可求得PQ；
（2）由△APQ為等邊三角形，得∠APQ=60°，在△PQB中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出∠QPB=90°，可求∠APB的度數(shù)．

解答：解：（1）連接PQ，由題意可知BQ=PC=10，AQ=AP，
∠PAC=∠QAB，而∠PAC+∠BAP=60°，
所以∠PAQ=60度．故△APQ為等邊三角形，
所以PQ=AP=AQ=4；

（2）因?yàn)镻A=3，PB=4，PC=5，利用勾股定理的逆定理可知：
PQ²+BP²=BQ²，所以△BPQ為直角三角形，且∠BPQ=90°
可求∠APB=90°+60°=150°．

點(diǎn)評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點(diǎn)-旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．