Question

如圖41，在直角∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P，OP=a，∠POA=30°，過(guò)P點(diǎn)做一直線MN與OA、OB分別相交于M、N，使△MON的面積最小．

（1）此時(shí)線段MN的位置是 [    ]   A．MN⊥OP  B．OM=ON.  C．OM=2ON    D．PM=PN

（2）此時(shí)△MON的面積是______．

（3）若∠AOB為一銳角，P是銳角內(nèi)一定點(diǎn)（如圖42）．過(guò)P點(diǎn)的直線與OA、OB交于M、N，使△OMN的面積最小，應(yīng)怎樣畫(huà)出MN的位置（簡(jiǎn)述畫(huà)法并保留畫(huà)圖痕跡），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）如圖46，當(dāng)PM=PN時(shí)，△MON面積最小，

∴選（D）．理由同第（3）小題．

（2）由（1）知，當(dāng)PM=PN時(shí)，△MON面積最小．

∵△MON是直角三角形．

∴MN=2a．

又∵∠POM=30°，

∴∠PMO=30°，

（3）作法1：如圖47．

①?gòu)腜點(diǎn)作PC∥OA交OB于C．②在OB上截取CN=OC．③連接NP并延長(zhǎng)交OA于M．則MN即為所求線段．此時(shí)，∵PC∥OM，OC=CN，

∴PM=PN．

∴△OMN面積最小．

證明：若經(jīng)過(guò)F點(diǎn)另有一條直線EF交OA，OB于E，F(xiàn)（如圖47）．

從N作NG∥OA交EF于G．

可證明△PEM≌△PGN．

∴S_△PEM=S_△PNG＜S_△PNF

∴S_△OMN=S_{四邊形OEPN}＋S_△PEM＜S_{四邊形OEPN}＋S_△PNF=S_△OEF

若E′F′過(guò)點(diǎn)P交OA，OB于E′，F(xiàn)′（如圖48）則作M′G′∥OB交E′F′于G′，同理可證S_△OMN＜S_△OEF′

∴△OMN是符合要求的面積最小的三角形．

說(shuō)明：此題的原型源于一道常見(jiàn)的平面幾何證明題．

題目：如圖49，等腰△ABC中，AB=AC，D，E為AB和AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BD=CE，DE與BC相交于P，求證DP=PE．

證明1：過(guò)D點(diǎn)作DF∥BC交AC于F．

∴∠ADF=∠B，∠AFD=∠ACB，

∴AD=AF．

∴FC=BD=CE．

在△EDF中，CP∥DF，EC=CF．

∴EP=PD．

證明2：過(guò)D點(diǎn)作DF∥AC交BC于F（圖50）．

∴∠DFB=∠ACB=∠B．

∴DF=DB=CE．

在△PDF和△PEC中．∠DPF=∠EPC，∠PDF=∠E，DF=CE

∴△PDF≌△PEC．

∴PD=PE．

按照此證明思路，可作出圖51和圖52．

作法2：

①在OA，OB上取C，D兩點(diǎn)，使OC=OD．

②過(guò)P點(diǎn)作EF∥CD交OA于E，交OB于F．

③在PF上取PG=PE．

④過(guò)G作GN∥OA交OB于N．

⑤連接NP延長(zhǎng)交OA于M．

則MN即為所求．

作法3：

①在OA，OB上取C，D兩點(diǎn)，使OC=OD．

②過(guò)P點(diǎn)作EF∥CD交OA于E，交OB于F．

③延長(zhǎng)PE到G，使PG=PF．

④過(guò)G作GM∥OB交OA于M．

⑤連接MP延長(zhǎng)交OB于N．

則MN即為所求．