Question

如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），PO的延長(zhǎng)線交BC于Q點(diǎn)．
（1）求證：四邊形PBQD為平行四邊形．
（2）若AB=3cm，AD=4cm，P從點(diǎn)A出發(fā)．以1cm/秒的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以O(shè)P=OQ，則四邊形PBQD的對(duì)角線互相平分，故四邊形PBQD為平行四邊形．
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AP=tcm，PD=（4-t）cm．當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=（4-t）cm．在直角△ABP中，根據(jù)勾股定理得到AP²+AB²=PB²，即t²+3²=（4-t）²，由此可以求得t的值．

解答：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴∠PDO=∠QOB，
在△POD與△QOB中，

∠PDO=∠QBO OD=OB ∠POD=∠QOB

，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ，
∴四邊形PBQD為平行四邊形；

（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AP=tcm，PD=（4-t）cm．
當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=（4-t）cm．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAP=90°，
∴在直角△ABP中，AB=3cm，AP²+AB²=PB²，即t²+3²=（4-t）²，
解得：t=

7

8

，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

7

8

秒時(shí)，四邊形PBQD能夠成為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)．凡是可以用平行四邊形知識(shí)證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．