Question

如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD，E為BC弧上一點，下列結論：
①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°．
其中正確的是

1. A.
   ①③
2. B.
   ①②
3. C.
   ①②③
4. D.
   ②③

Answer 1

B
分析：（1）首先由AB⊥CD，推出，可得∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，再由OC=OA，推出∠1=∠BAC，即可推出∠1=∠2；
（2）根據(jù)（1）所推出的結論，即可推出∠4=∠2=∠1=∠BAC，然后根據(jù)外角的性質可推出∠3=∠1+∠BAC，通過等量代換可得∠3=2∠1，即得∠3=2∠4；
（3）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質可得∠5+∠BAC=180°，由∠1=∠BAC，可推出∠3=2∠BAC，通過等量代換可推出∠5+∠3=180°，總上所述，題目中的三個結論中正確的是①②．
解答：（1）∵AB⊥CD，
∴，
∴∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠1=∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴結論①正確，
（2）∵，
∴∠4=∠2，
∵∠1=∠2=∠BAC，
∴∠4=∠2=∠1=∠BAC，
∴∠3=∠1+∠BAC=2∠1，
∴∠3=2∠4，
∴結論②正確，
（3）∵四邊形ACEB為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠5+∠BAC=180°，
∵∠BAC=∠1，3=2∠1，
∴∠3=2∠BAC，
∠5+∠3=180°，
∴結論③錯誤，
總上所述，結論①②正確，
故選B．
點評：本題主要考查圓周角定理，垂徑定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質，三角形的外角的性質等知識點，關鍵在于根據(jù)相關的性質定理推出相等的角，然后通過正確的等量代換即可確定正確的結論．