Question

【題目】

正方形ABCD邊長為4 cm，點(diǎn)E，M分別是線段AC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE并延長，交正方形ABCD的邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如圖1，若點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：DF=MN；

（2）如圖2，若點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）；

①當(dāng)點(diǎn)F是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；

②連結(jié)FM，F(xiàn)N，當(dāng)t為何值時(shí)△MNF是等腰三角形（直接寫出t值）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）t=；②t=2或t=4.

【解析】

試題分析：（1）先判定△ADF≌△DNC，即可得到結(jié)論；

（2）①當(dāng)點(diǎn)F是AB中點(diǎn)時(shí)，由比例式，計(jì)算即可，②先表示出AF，DN=CM=t，AN=DM=4-t，再分三種情況計(jì)算．

試題解析：（1）證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°.

∴∠ADF=∠DCN.

在△ADF與△DNC中，

∴△ADF≌△DNC（ASA）. 2分

∴DF=MN.

（2）①當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則AF=AB=2.

由題意可知，CM=t，AE=t，CE=4－t

∵AB∥CD，

∴△AEF∽△CED.

∴.

即

∴t=

②t=2或t=4.

詳細(xì)解答過程如下：

∵△AEF∽△CED.

∴

∴

∴AF=

易證△MND∽△DFA，

∴，

∴，解得ND=t.

∴DN=CM=t，AN=DM=4－t

若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：

(ⅰ) 若FN=FM，由MN⊥DF知，FD為NM的垂直平分線，∴DN=DM

即t=4－t，∴t=2（此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合）

（ⅱ）若FM=MN，顯然此時(shí)點(diǎn)F在BC邊上，如圖所示，

由∠NDM=∠MCF，ND=MC，FM=MN

可得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=4－t.

由△NDM∽△DCF，可得

∴，∴t=4（此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）

（ⅲ）若FN=MN，如圖所示，

由∠FAN=∠NDM，AN=DM，FN=MN

可得△FAN≌△NDM，∴AF=DN，即=t，

解得t=0（此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合）

∵t＞0，∴不符合題意，∴此種情形不存在.

綜上所述，當(dāng)t=2或t=4時(shí)，△MNF能夠成為等腰三角形.