Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根

（1）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；

（2）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，直線BD上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、垂直；理由見解析；(2)、（﹣2，1）；(3)、（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)得出OA、OB和OC的長度，根據(jù)線段的比值以及∠AOC=∠BOA=90°得出△AOC和△BOA相似，然后得出∠BAC=90°，即垂直；(2)、首先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，然后求出橫坐標(biāo)；(3)、根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：(1)、∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1）， ∴OA=，OB=3，OC=1， ∴OA2=OBOC，

∵∠AOC=∠BOA=90°， ∴△AOC∽△BOA， ∴∠CAO=∠ABO， ∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°， ∴AC⊥AB；

(2)、設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b， 把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴， 解得：， ∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣1，

∵DB=DC， ∴點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上， ∴D的縱坐標(biāo)為1， ∴把y=1代入y=﹣x﹣1，

∴x=﹣2， ∴D的坐標(biāo)為（﹣2，1），

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．