Question

10．如圖，點(diǎn)A為直線y=-x上一點(diǎn)，過A作OA的垂線交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＜0）于點(diǎn)B，若OA²-AB²=12，則k的值為-6．

Answer 1

分析 延長AB交x軸于C點(diǎn)，作AF⊥x軸于F點(diǎn)，BE⊥x軸于E點(diǎn)，由于直線y=-x為第二、四象限的角平分線，則△AOB、△BEC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=AO=$\sqrt{2}$AF，BC=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$CE，AF=$\frac{1}{2}$OC，可得到AB=AC-BC=$\sqrt{2}$（AF-BE），利用OA²-AB²=12變形得2AF•BE-BE²=6，即BE（2AF-BE）=6，由于OC=2AF，BE=EC，所以BE•OE=6，則得到B點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積為-6，從而得到k的值為-6．

解答 解：延長AB交x軸于C點(diǎn)，作AF⊥x軸于F點(diǎn)，BE⊥x軸于E點(diǎn)，如圖，
∵點(diǎn)A為直線y=-x上一點(diǎn)，
∴∠AOC=90°，
∵AB⊥直線y=-x，
∴△AOC、△BEC為等腰直角三角形，
∴AC=AO=$\sqrt{2}$AF，BC=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$CE，AF=$\frac{1}{2}$OC，
∴AB=AC-BC=$\sqrt{2}$（AF-BE），
∵OA²-AB²=12，
∴（$\sqrt{2}$AF）²-[$\sqrt{2}$（AF-BE）]²=12，
整理得2AF•BE-BE²=6，
∴BE（2AF-BE）=6，
∴BE（OC-CE）=6，即BE•OE=6，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則BE=y，OE=-x，
∴BE•OE=-xy=6，
∴xy=-6，
∴k=-6．
故答案為-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；熟練運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)解決幾何計(jì)算．