Question

如圖，正方形ABCD中，M為BC上除點(diǎn)B、C外的任意一點(diǎn)，△AMN是等腰直角三角形，斜邊AN與CD交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AN與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接MF、CN．
（1）求證：BM+DF=MF；
（2）求∠NCE的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題,壓軸題

分析：（1）截長(zhǎng)補(bǔ)短類型題目，延長(zhǎng)CD至G使DG=BM，證明△ADG≌△ABM，將BM+DF轉(zhuǎn)化到一條線段GF上，再證明MF=GF；
（2）過(guò)點(diǎn)N作NH⊥EB，證△MHN≌△ABM，再根據(jù)線段間的關(guān)系得到NH=HC，從而得到△CHN是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠NCE=45°．

解答：（1）證明：延長(zhǎng)CD至G使DG=BM，
在△ADG和△ABM中，

AD=AB ∠ADG=∠ABM DG=BM

，
∴△ADG≌△ABM（SAS），
∴AG=AM，
又∵△AMN為等腰直角三角形，
∴∠MAN=45°，
∴∠FAD+∠MAB=45°，
∵∠DAG=∠BAM，
∴∠GAF=∠FAD+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠MAN，
在在△AFG和△AFM中，

AG=AM ∠GAF=∠MAN AF=AF

，
∴△AFG≌△AFM（SAS），
∴MF=GF，
又∵GF=GD+DF，GD=BM，
∴BM+DF=MF；

（2）解：過(guò)點(diǎn)N作NH⊥EB于點(diǎn)H，
∠AMB=180°-∠AMN-∠NMH=90°-∠NMH=∠MNH，
在△ABM≌△MHN中，

∠ABM=∠MHN ∠AMB=∠MNH AM=MN

，
∴△ABM≌△MHN（AAS），
∴AB=MH，BM=NH，
∵CH=MH-MC=AB-MC=BC-MC=BM=NH，
∴△CHN是等腰直角三角形，
∴∠NCE=∠NCG=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形，然后確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．