Question

11．一次數(shù)學(xué)活動課上，兩位學(xué)生小韓和小蘇利用計算機軟件探索函數(shù)問題，下面是他們的交流片斷．如圖中的（1）（2）．

問題解決：
（1）小蘇提出的問題$\frac{MN}{PM}$的比值是多少？
（2）記圖①和圖②中MN為d₁，d₂，分別求出d₁，d₂與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的增減性．
拓廣探索：
（3）學(xué)生小王又提出新的問題如圖③二次函數(shù)的圖象，求m為何值時，OP、PM、PN、MN四個長度中，其中任意三條能圍成等邊三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線x=m與x軸，y=$\frac{2}{x}$，y=$\frac{3}{x}$的交點，表示出P，M，N，進(jìn)而表示出|MN|與|PM|，即可求出所求之比；
（2）如圖①，表示出d₁與m的關(guān)系式，即可作出判斷；如圖②，表示出d₂與m的關(guān)系式，即可作出判斷；
（3）把x=m（m≠0）分別代入拋物線解析式，表示出|MN|=OP=m，分兩種情況考慮：當(dāng)OP=MN=PM；當(dāng)OP=MN=PM，分別求出m的值即可．

解答 解：（1）∵x=m與x軸，y=$\frac{2}{x}$，y=$\frac{3}{x}$分別交于點P、M、N，
∴P點坐標(biāo)為（m，0），M坐標(biāo)為（m，$\frac{2}{m}$），N坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{m}$），
∴|MN|=$\frac{3}{m}$-$\frac{2}{m}$=$\frac{1}{m}$，|PM|=$\frac{2}{m}$，
則$\frac{MN}{PM}$=$\frac{\frac{1}{m}}{\frac{2}{m}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）在圖①中，|MN|=2m-m=m，即d₁=m，d₁隨著m的增大而增大；
在圖②中，|MN}=$\frac{2}{m}$-$\frac{1}{m}$=$\frac{1}{m}$，即d₂=$\frac{1}{m}$，d₂隨m的增大而減小；
（3）由題意，把x=m（m≠0）分別代入拋物線y=x²-4x，y=x²-3x中，有|MN|=|y_N-y_M|=m，即MN=OP=m，
分兩種情況考慮：當(dāng)OP=MN=PM，即|m²-4m|=m時，解得m=3，5；
當(dāng)OP=MN=PM，即|m²-3m|=m時，解得m=2，4，
綜上，m=2，3，4，5．

點評 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．