Question

（2013•四會(huì)市二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AD⊥EF于點(diǎn)D，∠DAC=∠BAC．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，得到AD與OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF為圓O的切線；
（2）由∠ACD的度數(shù)求出∠OCA為60°，確定出三角形AOC為等邊三角形，由半徑為2求出AC的長(zhǎng)，在直角三角形ACD中，由30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，由扇形AOC面積減去三角形AOC面積求出弓形的面積，再由三角形ACD面積減去弓形面積即可求出陰影部分面積．

解答：解：（1）連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
則EF為圓O的切線；
（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠OCA=60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴AC=OC=OA=2，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，
∴AD=

1

2

AC=1，根據(jù)勾股定理得：CD=

3

，
∴S_陰影=S_△ACD-（S_扇形AOC-S_△AOC）=

1

2

×1×

3

-（

60π×22

360

-

3

4

×2²）=

3 3

2

-

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及扇形面積的計(jì)算，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．