Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，P為AB上的點，Q為AD上的點，且△APQ的周長為2，則∠PCQ=

45

度．

Answer 1

分析：把Rt△CBP繞C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△CDE．則E在AD的延長線上，并且CE=CP，DE=PB，∠ECP=90°，再由△APQ的周長為2，
得到QP=2-AQ-AP，易得QE=DE+DQ=2-AQ-AP，于是△CQE≌△CQP，得到∠PCQ=∠QCE，得到∠PCQ=45°．

解答：解：把Rt△CBP繞C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△CDE，如圖，

則E在AD的延長線上，并且CE=CP，DE=PB，∠ECP=90°，
∵△APQ的周長為2，
∴QP=2-AQ-AP，
而正方形ABCD的邊長為1，
∴DE=PB=1-AP，
DQ=1-AQ，
∴QE=DE+DQ=2-AQ-AP，
∴QE=QP，
而CQ公共，
∴△CQE≌△CQP，
∴∠PCQ=∠QCE，
∴∠PCQ=45°．
故答案為：45．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．