Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（-3，0），B（-1，0），與y軸相交于點(diǎn)C，⊙O₁為△ABC的外接圓，交拋物線于另一點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求cos∠CAB的值和⊙O₁的半徑；
（3）若點(diǎn)E為拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，請?zhí)剿鲯佄锞�上是否存在點(diǎn)F使以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為P，連接BP，CP，BD，M為弦BD中點(diǎn)，若點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足△BMN∽△BPC，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）如答圖1所示，由△AOC為等腰直角三角形，確定∠CAB=45°，從而求出其三角函數(shù)值；由圓周角定理，確定△BO₁C為等腰直角三角形，從而求出半徑的長度；
（3）根據(jù)拋物線的解析式求得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到E的橫坐標(biāo)，根據(jù)AB的長求得F的橫坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可求得縱坐標(biāo)，得出F的坐標(biāo)．
（4）如答圖2所示，首先利用圓及拋物線的對稱性求出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和線段BM的長度；點(diǎn)B、P、C的坐標(biāo)已知，求出線段BP、BC、PC的長度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例線段關(guān)系，求出線段BN和MN的長度；最后利用兩點(diǎn)間的距離公式，列出方程組，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（-3，0），B（-1，0），
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得a=1，b=4，
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3．

（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x²+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，則△AOC為等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴cos∠CAB=

2

2

．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=

12+32

=

10

．
如答圖1所示，連接O₁B、O₁C，
由圓周角定理得：∠BO₁C=2∠BAC=90°，
∴△BO₁C為等腰直角三角形，
∴⊙O₁的半徑O₁B=

2

2

BC=

5

．


（3）存在；
∵拋物線的解析式為：y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，
∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=2，
∵以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
∴EF=AB=2，
∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或-4，
∴當(dāng)x=0時，y=3，
∴F₁（0，3）
當(dāng)x=-4時，y=x²+4x+3=（-4）²+4×（-4）+3=3，
∴F₂（-4，3）
∴存在點(diǎn)F使以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）或（-4，3）．

（4）拋物線y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，-1），對稱軸為x=-2．
又∵A（-3，0），B（-1，0），可知點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸x=-2對稱．
如答圖2所示，由圓及拋物線的對稱性可知：點(diǎn)D、點(diǎn)C（0，3）關(guān)于對稱軸對稱，
∴D（-4，3）．
又∵點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，B（-1，0），
∴M（-

5

2

，

3

2

），
∴BM=

【- 5 2 -(-1)】2+( 3 2

)2=

3

2

2

；
在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），
由兩點(diǎn)間的距離公式得：BP=

2

，BC=

10

，PC=2

5

．
∵△BMN∽△BPC，
∴

BM

BP

BN

BC

═

MN

PC

，即

3 2 2

2

=

BN

10

=

MN

2 5

，
解得：BN=

3

2

10

，MN=3

5

．
設(shè)N（x，y），由兩點(diǎn)間的距離公式可得：

(x+1)2+y2=( 3 2 10 )2 (x+ 5 2 )2+(y- 3 2 )2=(3 5 )2

，
解之得，

x1= 7 2 y1=- 3 2

，

x2= 1 2 y2=- 9 2

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

7

2

，-

3

2

）或（

1

2

，-

9

2

）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圓的性質(zhì)、相似三角形、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式等重要知識點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)較多，試題難度較大．難點(diǎn)在于第（4）問，需要認(rèn)真分析題意，確定符合條件的點(diǎn)N有兩個，并畫出草圖；然后尋找線段之間的數(shù)量關(guān)系，最終正確求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．