如圖，?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E為x軸上的點(diǎn)，且S△AOE=
163
，求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？
（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)精英家教網(wǎng)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析：（1）求得一元二次方程的兩個(gè)根后，判斷出OA、OB長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求得AB長(zhǎng)，那么就能求得sin∠ABC的值．
（2）易得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，4），還需求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，OA之間的距離是一定的，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)可能在點(diǎn)O的左邊，也有可能在點(diǎn)O的右邊．根據(jù)所給的面積可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，把A、E代入一次函數(shù)解析式即可．然后看所求的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊是否成比例，成比例就是相似三角形．
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．
解答：解：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3．
在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=
OA2+OB2
=5，
∴sin∠ABC=
OA
AB
=
4
5
．

（2）∵點(diǎn)E在x軸上，S△AOE=
16
3
，即
1
2
AO×OE=
16
3
，
解得OE=
8
3
．∴E（
8
3
，0）或E（-
8
3
，0）．
由已知可知D（6，4），設(shè)yDE=kx+b，
當(dāng)E（
8
3
，0）時(shí)有
4=6k+b
0=
8
3
k+b
，
解得
k=
6
5
b=-
16
5
．
∴yDE=
6
5
x-
16
5
．
同理E（-
8
3
，0）時(shí)，yDE=
6
13
x+
16
13
．
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=
8
3
；
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；
∵
OE
OA
=
OA
OD
，
∴△AOE∽△DAO．

（3）根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF=AC=5，
所以點(diǎn)F與B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，
點(diǎn)F（3，8）．
③AC是對(duì)角線時(shí)，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=-
4
3
x+4，直線L過（
3
2
，2），且k值為
3
4
（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為-1），
L解析式為y=
3
4
x+
7
8
，聯(lián)立直線L與直線AB求交點(diǎn)，
∴F（-
75
14
，-
22
7
），精英家教網(wǎng)
④AF是對(duì)角線時(shí)，過C做AB垂線，垂足為N，根據(jù)等積法求出CN=
24
5
，勾股定理得出，AN=
7
5
，做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)即為F，AF=
14
5
，過F做y軸垂線，垂足為G，F(xiàn)G=
14
5
×
3
5
=
42
25
，
∴F（-
42
25
，
44
25
）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F1（3，8）；F2（-3，0）；
F3（-
75
14
，-
22
7
）；F4（-
42
25
，
44
25
）．
點(diǎn)評(píng)：一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊之比；相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例；給定兩個(gè)點(diǎn)作為菱形的頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)可能是菱形的對(duì)角所在的頂點(diǎn)，也可能是鄰角所在的頂點(diǎn)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

24、如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=4cm，AB=12cm，CD=8cm點(diǎn)P從A開始沿AB邊向B以3cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊向D以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）t為何值時(shí)，四邊形APQD是平形四邊形？
（2）如圖2，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，那么，t為何值時(shí)，⊙P和⊙Q外切？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進(jìn)行折疊：對(duì)折，展平，得折痕EF（如圖①）；沿CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處，（如圖②）；展平，得折痕GC（如圖③）；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C′處，（如圖④）；沿GC′折疊（如圖⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如圖 ⑥）．
（1）求圖 ②中∠BCB′的大小；
（2）圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由．精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，如圖1：在正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)P是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以P為圓心，PD長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧交AB邊于點(diǎn)E，
（1）若以A為圓心，AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2：連接PE交BC邊于點(diǎn)F，連接DE，設(shè)AE長(zhǎng)為x，CF長(zhǎng)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）將點(diǎn)B沿直線EF翻折，使點(diǎn)B落在平面上的B′處，當(dāng)EF=
53
時(shí)，△AB′B與△BEF是否相似？若相似，請(qǐng)加以證明；若不相似，簡(jiǎn)要說明理由．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察與發(fā)現(xiàn)：
（1）小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖①）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖②）．你認(rèn)為△AEF是什么形狀的三角形？為什么？
精英家教網(wǎng)
實(shí)踐與運(yùn)用：
如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊：對(duì)折、展平，得折痕EF（如圖①）；沿GC折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處（如圖②）；展平，得折痕GC（如圖③）；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C′處（如圖④）；沿GC′折疊（如圖⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如圖⑥）．
（2）在圖②中連接BB′，判斷△BCB′的形狀，請(qǐng)說明理由；
（3）圖⑥中的△GCC′是等邊三角形嗎？請(qǐng)說明理由．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011年河北省唐山市玉田縣八年級(jí)第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

 

1.觀察與發(fā)現(xiàn)：

在一次數(shù)學(xué)課堂上，老師把三角形紙片ABC(AB＞AC)沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片(如圖①)；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF(如圖②)．有同學(xué)說此時(shí)的△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說明理由．

2.實(shí)踐與運(yùn)用

將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE(如圖③)；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)處，折痕為EG(如圖④)；再展平紙片(如圖⑤)．試問：圖⑤中∠的大小是多少？(直接回答，不用說明理由)．

 

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