Question

如圖（1），BP，CP分別是△ABC中∠ABC和外角∠ACE的平分線，∠A=100°，
（1）求∠BPC的度數(shù)；
（2）如圖（2），若BP₁，CP₁分別平分∠PBC，∠PCE，BP₂，CP₂分別平分∠P₁BC，∠P₁CE，BP₃．CP₃分別平分∠P₂BC，∠P₂CE，…BP_n，CP_n，分別平分∠P_n-1BC，∠P_n-1CE，則∠BP₁C=

 

°，∠BP₂C=

 

°，∠BP_nC=

 

°．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：（1）易求得∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCE=

1

2

∠ACE，再根據(jù)∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，即可求得∠P=

1

2

∠A，即可解題；
（2）根據(jù)（1）中求證可以發(fā)現(xiàn)∠P=

1

2

∠A，易證∠BP₁C=

1

2

∠BPC，∠BP₂C=

1

2

∠BP₁C，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律∠BP_nC=

1

2n+1

∠A，即可解題．

解答：解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCE=

1

2

∠ACE，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，
∴∠P=

1

2

∠A，
∴∠BPC=50°；
（2）由（1）可得∠P=

1

2

∠A，
同理∠BP₁C=

1

2

∠BPC，
∠BP₂C=

1

2

∠BP₁C，
由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律∠BP_nC=

1

2n+1

∠A，
故答案為 25，12.5，

100

2n+1

．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，考查了三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和的性質(zhì)，考查了角平分線的性質(zhì)，本題中求得∠P=

1

2

∠A是解題的關(guān)鍵．