Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²-（m-1）x+m²-6交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)C位于第二象限，連接AB，AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是y軸正半軸上一點(diǎn)，且在B點(diǎn)上方，若∠DCB=∠CAB，請你猜想并證明CD與AC的位置關(guān)系；
（3）設(shè)與△AOB重合的△EFG從△AOB的位置出發(fā)，沿x軸負(fù)方向平移t個(gè)單位長度（0＜t≤3）時(shí)，△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得出m的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出∠ABC=90°，繼而利用等量代換可得出∠DCB+∠ACB=90°，繼而得出結(jié)論．
（3）過點(diǎn)B作BF∥x軸，交AC于點(diǎn)K，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)，然后根據(jù)K的橫坐標(biāo)，可分類討論，①當(dāng)0＜t＜

3

2

時(shí)，②當(dāng)

3

2

≤t≤3時(shí)，分別表示出陰影部分的面積即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²-（m-1）x+m²-6與y軸交于點(diǎn)B（0，3），
∴m²-6=3．
∴m=±3．
∵拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，
∴m=3．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）猜想：CD⊥AC，如圖（1）：

證明如下：
∵A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），
∴AB=3

2

，AC=2

5

，BC=

2

．
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°，
又∵∠CAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ACB=90°，
∴CD⊥AC．
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
將A（-3，0），C（-1，4）代入可得：

-3k+b=0 -k+b=4

，
解得：

k=2 b=6

，
即直線AC的解析式為y=2x+6．
過B作BK∥x軸，交AC于點(diǎn)K，
則點(diǎn)K的坐標(biāo)為（-

3

2

，3），
①當(dāng)0＜t＜

3

2

時(shí)，如圖（2），EF交AB于點(diǎn)Q，GF交AC于點(diǎn)N，過N做MP∥FE交x軸于P點(diǎn)，交BF的延長線點(diǎn)M，

由△AGN∽△KFN，得

AG

KF

=

PN

MN

，
即

t

3 2 -t

=

PN

3-PN

，
解得PN=2t，
則S_陰影=S_△FGE-S_△QAE-S_△AGN=

1

2

×3×3-

1

2

(3-t)2-

1

2

t×2t=-

3

2

t²+3t．

②當(dāng)

3

2

≤t≤3時(shí)，如圖（3），EF交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，BF交AC于點(diǎn)P，
．
由△AME∽△PMF，
得

AE

PF

=

ME

MF

．
即

3-t

t- 3 2

=

ME

3-ME

，
解得ME=2（3-t），
∴S 陰影=S△MAE-S△NAE=

1

2

×（3-t）×2(3-t)-

1

2

(3-t)2=

1

2

t2-3t+

9

2

．
綜上所述：S=

- 3 2 t2+3t(0＜t＜ 3 2 ) 1 2 t2-3t+ 9 2 ( 3 2 ≤t≤3)

．

點(diǎn)評：本題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理的逆定理及分段函數(shù)的知識，綜合考察的知識點(diǎn)較多，對于此類綜合題目，往往前兩問都比較簡單，同學(xué)們不要碰到這樣的綜合題就退縮．