Question

5．已知銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在$\widehat{BC}$上（點D與點A位于弦BC的兩側(cè)），∠ADC=∠ACB．
（1）如圖1，求證：AB=AC；
（2）如圖2，點P在$\widehat{AC}$上（與點B位于弦AC的兩側(cè)），連接BP，交弦AD于點E，交弦AC于點F，若AE=AF，求證：∠BCD=2∠PBC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，延長BP，交DC的延長線于點G，連接BD，若∠PBD=45°，BC=3，PG=$\sqrt{5}$，求線段BD的長．

Answer 1

分析 （1）由∠B=∠D，∠ADC=∠ACB，即可得∠B=∠ACB，則可證得AB=AC；
（2）首先連接AP，可得∠PBC=∠ABC-∠ABP=∠APB-∠ABP，由AE=AF，易得∠PBC=∠BAD-∠PAC，繼而可證得：∠BCD=2∠PBC；
（3）首先連接PC，PD，作PH⊥DG于點H，過點B作BM⊥DG于點M，易求得PD=PG，即可得∠PCH=∠PBD=45°，然后設PH=CH=x，易得方程在Rt△PHG中，x²+（3-x）²=（$\sqrt{5}$）²，繼而求得x的值，再設BM=m，即可得m²+（2m-3）²=3²，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ADC=∠ABC，
∵∠ADC=∠ACB，
∴∠ABC=ACB，
∴AB=AC；

（2）如圖2，連接AP，
∵∠ABC=∠ACB=∠APC，
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=∠APB-∠ABP，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠APB=∠AFE-∠PAC，∠ABP=∠AEF-∠BAD，
∴∠PBC=（∠AFE-∠PAC）-（∠AEF-∠BAD）=∠BAD-∠PAC，
∵∠PAC=∠PBC，
∴∠PBC=∠BAD-∠PBC，
∴∠BAD=2∠PBC，
∴∠BCD=∠BAD=2∠PBC；

（3）如圖3，連接PC，PD，作PH⊥DG于點H，過點B作BM⊥DG于點M，
∵∠BCD=∠PBC+∠G=2∠PBC，
∴∠PBC=∠G，
∴CG=BC=3，
∵∠PDC=∠PBC=∠G，
∴PD=PG，
∵∠PCH=∠PDC+∠DPC=∠CBP+∠DBC=∠PBD=45°，
∴PH=CH，
設PH=CH=x，
∴HG=3-x，
在Rt△PHG中，x²+（3-x）²=（$\sqrt{5}$）²，
解得x=2或x=1
∵∠G=∠PBC＜∠PBD，
∴tan∠G＜tan45°，
∴x=1，
∴CD=DH-CH=1
設BM=m，
∴MG=2m，
∴CM=2m-3，
∵BC=3，
∴m²+（2m-3）²=3²，
解得m=0（舍）或m=$\frac{12}{5}$，
∴DM=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點評 此題屬于圓的綜合題．考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的知識．注意準確作出輔助線、掌握方程思想的應用是解此題的關鍵．