Question

7．如圖，點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$位于第一象限的圖象經(jīng)過(guò)矩形ABCO邊AB的中點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)D，連接OD，DE，延長(zhǎng)DE與x軸交于點(diǎn)F，則△ODF與矩形ABCO的面積比是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A（m，0）得E（m，$\frac{k}{m}$）、B（m，$\frac{2k}{m}$）及點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)D在雙曲線(xiàn)上求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)即CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得BD的長(zhǎng)，通過(guò)證△EAF≌△EBD得AF=BD，即可表示出AF的長(zhǎng)，最后根據(jù)面積公式代入可得兩圖形面積比．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A（m，0），則點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），
∵E是AB中點(diǎn)，
∴AE=BE，B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，$\frac{2k}{m}$），
則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為$\frac{2k}{m}$，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x=$\frac{k}{\frac{2k}{m}}$=$\frac{m}{2}$，即CD=$\frac{m}{2}$
∴BD=BC-CD=0A-CD=$\frac{m}{2}$，
在△EAF和△EBD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠B=90°}\\{AE=BE}\\{∠AEF=∠BED}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EBD（ASA），
∴AF=BD=$\frac{m}{2}$，
則OF=OA+AF=$\frac{3m}{2}$，
故$\frac{{S}_{△ODF}}{{S}_{矩形OABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•OF•AB}{OA•AB}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{3m}{2}}{m}$=$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|，主要通過(guò)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合矩形性質(zhì)、反比例函數(shù)解析式及三角形全等表示出所需線(xiàn)段的長(zhǎng)是關(guān)鍵．