Question

拋物線y=mx²-4m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知OC=2OA．
（1）求拋物線解析式及A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAC內(nèi)心在x軸上？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）拋物線y=mx²-4m（m＞0）的對(duì)稱軸是y軸，可得點(diǎn)C就是頂點(diǎn)，再由OC=2OA，即可得到點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出m的值，進(jìn)而求出拋物線解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，該內(nèi)心又在x軸上，故直線PA與AC關(guān)于x軸對(duì)稱，從而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=mx²-4m（m＞0）的對(duì)稱軸是y軸，
∴點(diǎn)C就是頂點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4m）．
∵OC=2OA，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2m，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2m，0）．
把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，可得
m=1或m=-1（由m＞0，故舍去），
∴m=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4，
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-2，0），B（2，0）；

（2）在拋物線上存在點(diǎn)P，使△PAC內(nèi)心在x軸上，理由如下：
∵三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，該內(nèi)心又在x軸上，
∴直線PA與AC關(guān)于x軸對(duì)稱．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（-2，0），C（0，-4），
∴

-2k+b=0 b=-4

，
解得：

k=-2 b=-4

，
∴直線AC的解析式為y=-2x-4，
∴直線PA的解析式為y=2x+4．
解方程組

y=2x+4 y=x2-4

，得

x1=-2 y1=0

或

x2=4 y2=12

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P（4，12）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．