如圖，矩形ABCD的頂點A、D在拋物線y=-
2
3
x2+
8
3
x上，B、C在x軸的正半軸上，且矩形始終在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里．
（1）設點A的橫坐標為x，試求矩形的周長P關于變量x的函數(shù)表達式；
（2）當點A運動到什么位置時，相應矩形的周長最大？最大周長是多少？
（3）在上述這些矩形中是否存在這樣一個矩形，它的周長為7？若存在，求出該矩形的各頂點的坐標；若不存在，說明理由．
（1）令y=0，得-
2
3
x2+
8
3
x=0，
解得x1=0，x2=4，
∴E（4，0）；（2分）
∴P=2[-
2
3
x2+
8
3
x+(4-2x)]=-
4
3
x2+
4
3
x+8，（2分）
即P=-
4
3
x2+
4
3
x+8．

（2）∵P=-
4
3
x2+
4
3
x+8=-
4
3
(x-
1
2
)2+
25
3
（2分）
∴當x=
1
2
時，P的最大值為
25
3
；（2分）
故當點A運動到（
1
2
，
7
6
）時，矩形的周長最大，且最大值為
25
3
．

（3）存在；（1分）
當P=7時，得-
4
3
x2+
4
3
x+8=7
即4x2-4x-3=0，
解得x1=-
1
2
，x2=
3
2
；（1分）
∵0＜x＜2，
∴x=
3
2
；
當x=
3
2
時，y=
5
2
，
∴B(
3
2
，0)，C(
5
2
，0)，D(
5
2
，
5
2
)．（2分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知過坐標原點的拋物線經(jīng)過A（x1，0），B（x2，3）兩點，且x1、x2是方程x2+5x+6=0兩根（x1＞x2），拋物線頂點為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點E的坐標；
（3）P是拋物線上的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P使得以點P、M、O為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）求點的坐標：A______，B______，C______，______，AD的中點E______；
（2）求以E為頂點，對稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過點B，C的拋物線的解析式；
（3）求對角線BD與上述拋物線除點B以外的另一交點P的坐標；
（4）△PEB的面積S△PEB與△PBC的面積S△PBC具有怎樣的關系？證明你的結論．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，2）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx-1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；
（3）如圖2，過點E（1，-1）作EF⊥x軸于點F，將△AEF繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ（點M，N，Q分別與點A，E，F(xiàn)對應），使點M，N在拋物線上，求點M，N的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在平面直角坐標系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D，AD與BC相交于E點，已知：A（-2，-6），C（1，-3），一拋物線經(jīng)過A，E，C三點．
（1）求點E的坐標及此拋物線的表達式；
（2）如圖2，如果AB位置不變，將DC向右平移k（k＞0）個單位，求△AEC的面積S關于k的函數(shù)表達式；
（3）在第（2）問中，是否存在k的值，使AD⊥BC？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，點E在邊DC上，且DE=4cm．動點P從點A開始沿著A?B?C?E的路線以2cm/s的速度移動，動點Q從點A開始沿著AE以1cm/s的速度移動，當點Q移動到點E時，點P停止移動．若點P、Q同時從點A同時出發(fā)，設點Q移動時間為t（s），P、Q兩點運動路線與線段PQ圍成的圖形面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關系式．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，以△ABC的邊AC為直徑的半圓交AB于D，三邊長a，b，c能使二次函數(shù)y=
1
2
(c+a)x2-bx+
1
2
(c-a)的頂點在x軸上，且a是方程z2+z-20=0的一個根．
（1）證明：∠ACB=90°；
（2）若設b=2x，弓形面積S弓形AED=S1，陰影部分面積為S2，求（S2-S1）與x的函數(shù)關系式；
（3）在（2）的條件下，當b為何值時，（S2-S1）最大？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

定義[a，b，c]為函數(shù)y=axw+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[wm，1-m，-1-m]的函數(shù)的一些結論：
①當m=-3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（
1
3
，
8
3
）；
②當m＞大時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于
3
w
；
③當m＜大時，函數(shù)在x＞
1
地
時，y隨x的增大而減我；
④當m≠大時，函數(shù)圖象經(jīng)過x軸上一一定點．
其1正確的結論有______．（只需填寫序號）

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，某中學生推鉛球，鉛球在點A處出手，在點B處落地，它的運行路線滿足y=-
1
12
x2+
2
3
x+
5
3
，則這個學生推鉛球的成績是______米．

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